【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)当时,若方程
有两个相异实根
,且
,证明:
.
【答案】(1) 在
上单调递减,
上单调递增.(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题令,解得
(舍去),
,结合图象可得
的符号,进而得到函数的单调性;(2)将证明
的问题转化为比较两个函数值大小的问题,然后利用单调性求解。设
,可得
,再通过构造函数的方法可证得
,即
,最后再利用
在
上单调递增,可得
.
试题解析:
(1)因为
所以,
因为,所以
,
由得
(舍去),
,
所以当时,
单调递减,
当时,
单调递增,
故在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当时,
,
设的两个相异实根分别为
,
则满足
,且
,
令,
则,所以
在
上递减
由题意可知,故
,
所以,
令,
则
令,
则,
当时,
,
所以是减函数,
所以,
所以当时,
,
所以,
因为,
在
上单调递增,
所以.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的倾斜角;
(2)设点和
交于
两点,求
.
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosAcosC﹣cos(A+C)=sin2B. (Ⅰ)证明:a,b,c成等比数列;
(Ⅱ)若角B的平分线BD交AC于点D,且b=6,S△BAD=2S△BCD , 求BD.
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【题目】已知直线l:(k﹣1)x﹣2y+5﹣3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(4,0)和点P,且圆心在直线x﹣2y+1=0上.
(1)求定点P的坐标;
(2)求圆C的方程;
(3)已知点P为圆C直径的一个端点,若另一个端点为点Q,问:在y轴上是否存在一点M(0,m),使得△PMQ为直角三角形,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四边形是梯形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
,
,
是线段
上的动点.
(1)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA= ,c=3b,且△ABC面积S△ABC=
.
(1)求边b.c;
(2)求边a并判断△ABC的形状.
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【题目】为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度,需要抽检一批轮胎(共10个轮胎),已知这批轮胎宽度(单位: )的折线图如下图所示:
(1)求这批轮胎宽度的平均值;
(2)现将这批轮胎送去质检部进行抽检,抽检方案是:从这批轮胎中任取5个作检验,这5个轮胎的宽度都在内,则称这批轮胎合格,如果抽检不合格,就要重新再抽检一次,若还是不合格,这批轮胎就认定不合格.
求这批轮胎第一次抽检就合格的概率;
记
为这批轮胎的抽检次数,求
的分布列及数学期望.
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