Question

【题目】已知直线l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x﹣2y+1=0上．
（1）求定点P的坐标；
（2）求圆C的方程；
（3）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0得，k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，

令 ，得 ，即定点P的坐标为（3，1）．

（2）解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由条件得 ，解得 ．

所以圆C的方程为x2+y2﹣14x﹣8y+40=0，

圆C的标准方程（x﹣7）2+（y﹣4）2=25．

（3）解：圆C的标准方程为（x﹣7）2+（y﹣4）2=25，则 ，

设点P（3，1）关于圆心（7，4）的对称点为（x0，y0），则有 ，

解得x0=11，y0=7，故点Q的坐标为（11，7）．

因为M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，

若点P为直角三角形的顶点，则有 ，m=5，

若点Q是直角三角形的顶点，则有 ， ，

综上，m=5或 ．

【解析】（1）左右直线l的方程：k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，令 ，即可求得定点P的坐标；（2）设圆的方程，由题意列方程组，即可求圆的标准方程；（3）由（2）可知：求得直线CP的斜率，根据对称性求得Q点坐标，由M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得m的值．