Question

【题目】如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面， ， ， ， 是线段上的动点.

（1）试确定点的位置，使平面，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析： 根据所给图形，得到当是线段的中点时， 平面，连结，交DF于，连结，利用三角形中位线定理能够证明平面；

过点作平面与平面的交线，过点作于，过作于，连结由已知条件推导出是平面与平面所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值。

解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．

证明如下：

连结CE，交DF于N，连结MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN平面DMF，又AC不包含于平面DMF，

∴AC∥平面DMF．

（Ⅱ）过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，

∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，

过点M作MG⊥AD于G，

∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，

∴MG⊥平面ABCD，

过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，∴l⊥MH，

∴∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．

设AB=2，则DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×=，MG==1

∴cos∠MHG==，

∴所求二面角的余弦值为．