【题目】已知,
.
(1)求函数的增区间;
(2)若函数有两个零点,求实数
的取值范围,并说明理由;
(3)设正实数,
满足
,当
时,求证:对任意的两个正实数
,
总有
.
(参考求导公式: )
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,对
进行分类讨论,可得函数
的增区间;
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意.
若 可知
要使得函数有两个零点,则
以下证明函数
有两个零点即可
(3)证明:不妨设,以
为变量
令,
则
可以证明 ,所以
在
单调递增;因为
所以
这样就证明了
试题解析:(1)由已知,令
,
当时,
,函数的增区间
若
令
,
函数的增区间为
综合以上:当时,函数的增区间
;若
增区间为
(2)由(1)知:若函数在
的上为增函数,函数
有至多有一个零点,不合题意。
若 当
,
,函数在
的上为减函数
当
,函数在
的上为增函数
要使得函数有两个零点,则
下证明: 函数
有两个零点
而
,所以
在
存在惟一零点;
又
令
所以
在
上递增,
所以的
所以
在
也存在惟一零点;
综上: 函数
有两个零点
方法2:(先证: 有
)
而
,所以
在
也存在惟一零点;
综上: ,函数
有两个零点。
(3)证明:不妨设,以
为变量
令,
则
令,则
因为,所以
;即
在定义域内递增。
又因为且
所以
即
,所以
;又因为
,所以
所以在
单调递增;因为
所以
即
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【题目】如图,四边形是梯形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
,
,
是线段
上的动点.
(1)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA= ,c=3b,且△ABC面积S△ABC=
.
(1)求边b.c;
(2)求边a并判断△ABC的形状.
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【题目】已知圆M:x2+(y﹣4)2=4,点P是直线l:x﹣2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)当切线PA的长度为 时,求点P的坐标;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)求线段AB长度的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度,需要抽检一批轮胎(共10个轮胎),已知这批轮胎宽度(单位: )的折线图如下图所示:
(1)求这批轮胎宽度的平均值;
(2)现将这批轮胎送去质检部进行抽检,抽检方案是:从这批轮胎中任取5个作检验,这5个轮胎的宽度都在内,则称这批轮胎合格,如果抽检不合格,就要重新再抽检一次,若还是不合格,这批轮胎就认定不合格.
求这批轮胎第一次抽检就合格的概率;
记
为这批轮胎的抽检次数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】若(a+b+c)(b+c﹣a)=3ab,且sinA=2sinBcosC,那么△ABC是( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
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