Question

【题目】已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 时，求点P的坐标；
（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）求线段AB长度的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），

∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，

∴ ，解得 ，

∴P（0，0）或 ．

（2）解：设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，

其方程为 ，

即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，

由 ，解得 或 ，

∴圆过定点（0，4）， ．

（3）解：因为圆N方程为 ，

即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，

圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，

②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，

点M到直线AB的距离 ，

相交弦长即： ，

当 时，AB有最小值 ．

【解析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|= ，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b， ），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长 ，显然可看出b= 时，AB取最小值，并求出该最小值．