【题目】已知多面体如图所示,底面为矩形,其中平面, ,若分别是的中心,其中.
(1)证明: ;
(2)若二面角的余弦值为,求的长.
【答案】(1)见解析(2) SD=2
【解析】试题分析: 利用题意证得平面,然后利用线面垂直的性质和直线平行的结论可得
建立空间直接坐标系,由平面向量的法向量和二面角的余弦值可求的长
解析:(1)取的中点,连接, ,
因为是正方形,所以 , ;
因为分别是, 的中点,所以 , ;
又因为 且,所以 , ,
所以四边形是平行四边形, 所以 .
因为 平面,
又故,故;
(2)如图,以D为原点,射线DA,DC,DS分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系;设,则.
因为⊥底面,所以平面的一个法向量为.
设平面SRB的一个法向量为,
, ,则 即
令x=1,得,所以,
由已知,二面角的余弦值为,
所以得 ,解得a =2,所以SD=2.
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【题目】已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x﹣2y+3 =0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足 ,设动点N的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,且满足 (O为坐标原点),求线段AB长度的取值范围.
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【题目】已知直线l的斜率为k,经过点(1,﹣1),将直线向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到直线m,若直线m不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是 .
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【题目】已知直线l的方程为x=﹣2,且直线l与x轴交于点M,圆O:x2+y2=1与x轴交于A,B两点.
(1)过M点的直线l1交圆于P、Q两点,且圆孤PQ恰为圆周的 ,求直线l1的方程;
(2)若椭圆中a,c满足 =2,求中心在原点,且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程;
(3)过M点作直线l2与圆相切于点N,设(2)中椭圆的两个焦点分别为F1 , F2 , 求三角形△NF1F2面积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设命题p:椭圆C: + =1的焦点在x轴上;命题q:直线l:x﹣y+m=0与圆O:x2+y2=9有公共点. 若命题p、命题q中有且只有一个为真命题,求实数m的取值范围.
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【题目】已知, .
(1)求函数的增区间;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围,并说明理由;
(3)设正实数, 满足,当时,求证:对任意的两个正实数, 总有.
(参考求导公式: )
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【题目】设两个非零向量 与 不共线.
(1)若 = + , =2 +8 , =3( ﹣ ).求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使k + 和 +k 共线.
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【题目】已知方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0,
(1)若方程C表示圆,求实数m的范围;
(2)在方程表示圆时,该圆与直线l:x+2y﹣4=0相交于M、N两点,且|MN|= ,求m的值.
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【题目】已知,椭圆C过点A ,两个焦点为(﹣1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
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