Question

【题目】已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，c=1，

可设椭圆方程为 ，

解得b2=3， （舍去）

所以椭圆方程为

（2）解：设直线AE方程为： ，

代入 得

设E（xE，yE），F（xF，yF），

因为点 在椭圆上，

所以由韦达定理得： ， ，

所以 ， ．

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

在上式中以﹣K代K，可得 ，

所以直线EF的斜率

即直线EF的斜率为定值，其值为

【解析】（1）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得 ，求出b，由此能够求出椭圆方程．（2）设直线AE方程为： ，代入 得 ，再点 在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．