Question

11．已知函数$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，函数$g（x）=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x（a≠0）$，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． $[\frac{1}{3}，1]$
• C． $[\frac{1}{3}，+∞）$
• D． （0，1]

Answer 1

分析 求出函数$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，在[0，2]上的值域为[b，c]，再求导g′（x）=ax²-a²，从而确定函数的单调性，从而化为最值问题．

解答 解：根据所给条件，函数$f（x）=\frac{4x}{{3{x^2}+3}}$，在[0，2]上的值域[b，c]，
$f（x）=\frac{4x}{3{x}^{2}+3}=\frac{4}{3x+\frac{3}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{3x•\frac{3}{x}}}$=$\frac{2}{3}$，当且仅当x=1时取等号；x=0时，f（0）=0，x=2时，f（2）=$\frac{8}{15}$
则有b=0且c=$\frac{2}{3}$；函数的值域为：[0，$\frac{2}{3}$]．则y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]
函数$g（x）=\frac{1}{3}a{x^3}-{a^2}x（a≠0）$，
则g′（x）=ax²-a²=0，a＞0时，解得x=$\sqrt{a}$．
当4＞a＞0时，g′（x）＞0，∴$\sqrt{a}$＜x≤2；g′（x）＜0，∴0≤x＜$\sqrt{a}$
∴g（x）在[0，$\sqrt{a}$）上单调递减，在（$\sqrt{a}$，2]上单调递增
显然g（$\sqrt{a}$）＜g（0）=0
由题意可知，g（2）≥$\frac{2}{3}$，即3a²-4a+1≤0，∴$\frac{1}{3}$≤a≤1，
当a≥4时，g′（x）≤0，∴g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）≤g（0），不合题意．
当a≤0时，x∈[0，2]，$g（x）=\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$，不满足y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]．
综上，$\frac{1}{3}$≤a≤1．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．