Question

2．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为$y=\sqrt{3}x$，右焦点F（4，0），左右顶点分别为A₁，A₂，P为双曲线上一点（不同于A₁，A₂），直线A₁P，A₂P分别与直线x=1交于M，N两点；
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$为定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （1）利用焦距，离心率，列出方程组，求解即可．
（2）设出P，求出MN，然后求解数量积推出结果即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}c=4\\ \frac{b}{a}=\sqrt{3}\\{c^2}={a^2}+{b^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.⇒\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
（2）$设P（{x_0}，{y_0}），{A_1}P：y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2），{A_2}P：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，
所以$M（1，\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}+2}}），N（1，\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
所以$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=（-3，\frac{{3{y_0}}}{{{x_0}+2}}）•（-3，\frac{{-{y_0}}}{{{x_0}-2}}）=9-\frac{{3{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=9-\frac{{3{y_0}^2}}{{\frac{{{y_0}^2}}{3}}}=0$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的应用，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力．