Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（）^α+β≤（）^α•（）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求证：（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn．

Answer 1

（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+）^β+（1+x）^α•β（1+）^β-1•（-1）•=，
∵x∈（，∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（）=（）^α（）^β．
（2）证：∵f（）≤f（），∴（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，
即（）^α+β≤（）^α•（）^β．
（3）当n=2时，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，
设n=k时，（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，
当n=k+1时，（）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（）^{α1+α2+…+αn}•（）^αn+1
≤（）^α1•（）^α2…（）^αn•（）^αn+1．
所以，结论对一切n成立．
分析：（1）先求导函数得f′（x）=，从而可知x∈（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（）≤f（），可得（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，假设n=k时，成立，即（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，再证明当n=k+1时也，成立．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．