Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆Γ：＋y2＝1的一个焦点重合，点M(x0，2)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．

(Ⅰ)求抛物线C的方程以及|MF|的值；

(Ⅱ)记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数λ∈R，使得且|HA|2＋|HB|2＝都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 抛物线C的方程为y2＝4x,|MF|=2；(Ⅱ) λ＝2或.

【解析】试题分析: （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则，即可求得p的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得|MF|的值；

（2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得，利用两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数λ的值．

试题解析：

(Ⅰ)依题意，椭圆Γ：＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，故c2＝a2－b2＝1，故F，故＝1，则2p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x，将M代入y2＝4x，解得x0＝1，

故＝1＋＝2.

(Ⅱ)(法一)依题意，F，设l：x＝ty＋1，设A，B，

联立方程，消去x，得y2－4ty－4＝0.∴　　①

且，又＝λ则＝λ，即y1＝－λy2，代入　①

得，

消去y2得4t2＝λ＋－2，且H，

则|HA|2＋|HB|2＝＋y＋＋y＝x＋x＋2＋2＋y＋y＝＋＋2＋2＋y＋y＝＋4t＋8＝＋4t·4t＋8＝16t4＋40t2＋16.由16t4＋40t2＋16＝，

解得t2＝或t2＝－ (舍)，故λ＝2或.