Question

15．已知椭圆的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，点P的坐标为$（1，\frac{3}{2}）$，一条不过点P直线l：y=kx+b交椭圆于A，B，PA⊥PB，且AB被y轴平分，则直线l的方程为y=$±\frac{3}{2}$x．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，△＞0，由AB被y轴平分，可得x₁+x₂=0，因此kb=0．k=0或b=0．由PA⊥PB，可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（{y}_{1}-\frac{3}{2}）（{y}_{2}-\frac{3}{2}）$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}+b-\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+b-\frac{3}{2}）$．对k=0与b=0分类讨论利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△＞0，∴64k²b²-4（3+4k²）（4b²-12）＞0，（*）．
∴x₁+x₂=$\frac{-8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵AB被y轴平分，∴x₁+x₂=0，∴kb=0．
∴k=0或b=0．
∵PA⊥PB，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（{y}_{1}-\frac{3}{2}）（{y}_{2}-\frac{3}{2}）$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}+b-\frac{3}{2}）$$（k{x}_{2}+b-\frac{3}{2}）$．
①若k=0，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，
∴$\frac{1}{3}（4{b}^{2}-12）$+0+1+$（b-\frac{3}{2}）^{2}$=0，化为20b²-12b-27=0，解得b=$\frac{3±3\sqrt{46}}{10}$，不满足△＞0，舍去．
②若b=0，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁-1）（x₂-1）+$（k{x}_{1}-\frac{3}{2}）（k{x}_{2}-\frac{3}{2}）$=0，
∴（1+k²）x₁x₂-$（\frac{3k}{2}+1）$（x₁+x₂）+$\frac{13}{4}$=0，
∴（1+k²）$\frac{-12}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{13}{4}$=0，解得k=$±\frac{3}{2}$，满足△＞0．此时直线l的方程为：y=$±\frac{3}{2}$x．
综上可得：直线l的方程为y=$±\frac{3}{2}$x．
故答案为：y=$±\frac{3}{2}$x．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．