Question

若任意满足

x-y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

的实数x，y，不等式a（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，则实数a的最大值是

 

Answer 1

分析：此题考查的是线性规划以及恒成立问题．在分析时，可以先有线性约束条件画出可行域，然后由恒成立的条件可转化为求

y

x

的目标函数求最值即可，进而利用可行域即可获得答案．

解答：解：由题意知：可行域如图，
又∵a（x²+y²）≤（x+y）²在可行域内恒成立．
且a≤

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2 y x

1+( y x )2

=1+

2

y x + 1 y x

，
故只求Z=

y

x

+

1

y x

的最大值即可．
由图象可知：1≤

y

x

≤

3-0

2-0

，即1≤

y

x

≤

3

2

，
∴当

y

x

=

3

2

时Z取到最大值，最大值为

13

6

，
故a≤1+

2

13 6

=

25

13

，
所以答案为

25

13

．

点评：本题属于对线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．故本题值得思考总结．