Question

任意满足

x-y+3≤0 x+y-5≥0 x-3≤0

的实数x，y，若不等式a（x²+y²）＜（x+y）²恒成立，则实数a的取值范围是

a≤0

．

Answer 1

分析：此题考查的是线性规划以及恒成立问题．在分析时，可以先有线性约束条件画出可行域，然后由恒成立的条件可转化为求

y

x

的目标函数求最值即可，进而利用可行域即可获得答案．

解答：解：由题意知：可行域如图，
又∵a（x²+y²）＜（x+y）²在可行域内恒成立．
且a＜

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2 y x

1+( y x )2

=1+

2

y x + 1 y x

，
设Z=

y

x

+

1

y x

，由图象可知：

y

x

≥

6-0

3-0

，或

y

x

＜-1，
即

y

x

≥2或

y

x

＜-1，
∴当

y

x

→-1时，Z→-2，此时1+

2

Z

→极小值0，
故a≤1+

2

-2

= 0，
故答案为：a≤0．

点评：本题属于对线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．故本题值得思考总结．