Question

（2012•济南二模）如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点．且CC₁=

2

AC．
（Ⅰ）求证：CN∥平面 AMB₁；
（Ⅱ）求证：B₁M⊥平面AMG．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设AB₁的中点为P，连接NP、MP，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得CN∥平面AMB₁；
（Ⅱ）先证明B₁M⊥AG，再证明B₁M⊥AM，利用线面垂直的判定，即可证明B₁M⊥平面AMG．

解答：证明：（Ⅰ） 设AB₁的中点为P，连接NP、MP…（1分）
∵M、N分别是棱CC₁、AB的中点
∴CM∥

1

2

AA₁，且CM=

1

2

AA₁，NP∥

1

2

AA₁，且NP=

1

2

AA₁，
∴CM∥NP，CM=NP…（2分）
∴CNPM是平行四边形，∴CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（Ⅱ）∵CC₁⊥平面ABC，CC₁?平面CC₁B₁B
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，BC?平面CC₁B₁B
∴AG⊥平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（6分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁C，
设AC=2a，则CC₁=2

2

a
在Rt△MCA中，AM=

CM2+AC2

=

6

a…（8分）
同理，B₁M=

6

a…（9分）
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，
∴AB₁=

B1B2+AB2

=

C1C2+AB2

=2

3

a，
∴AM²+B₁M²=A

B

2 1

，∴B₁M⊥AM，…（10分）
又AG∩AM=A，
∴B₁M⊥平面AMG．…（12分）

点评：本题考查线面平行与垂直，解题的关键是正确运用线面平行与垂直的判定方法，属于中档题．