Question

已知数列{a_n），其中a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n
（1）求a₁、a₃、a₄；
（2）求数列{a_n}通项公式；
（3）设数列{b_n}为等差数列，其中b_n=

an

n+c

（c为不为零的常数），若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）在

an+1+an-1

an+1-an+1

=n中，分别令n=2，3，4得出关于a₁、a₃、a₄；的方程计算求解即可．
（2）猜想a_n=n（2n-1），再用数学归纳法证明
（3）由（2）利用2b₂=b₁+b₃．求出c，继而得出bn，Sn，再利用裂项求和法得出结果．

解答：解：（1）a₂=6，

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a4+a3-1

a4-a3+1

=3
得a₁=1，a₃=15，a₄=28
（2）猜想a_n=n（2n-1），下面用数学归纳法证明
①当n=1时，由已知，显然成立．
②假设当n=k（k≥1）时成立，即a_k=k（2k-1）
则当n=k+1时，有

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k．所以（k-1）a _k+1=（k+1）a _k-k（k+1），
a _k+1=（k+1）[2（k+1）-1]
即当n=k+1时也成立．所以a_n=n（2n-1）成立
（3）因为{b_n}为等差数列，所以2b₂=b₁+b₃．
∴

2a2

2+c

=

a1

1+c

+

a3

3+c

，又a₁=1，a₂=6，a₃=15，
∴c=-

1

2

，∴bn=

an

n- 1 2

=

n(2n-1)

1 2 (2n-1)

=2n．
故S_n=b₁+b₂+…+b_n，=n（n+1）

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题考查数列递推公式与通项公式，数列前n项和求解，考查数学归纳法的数学功用．考查推理论证，运算求解能力与求和方法．．