Question

（2012•安徽模拟）已知数列{a_n}，定义其倒均数是Vn=

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

，n∈N*．
（1）若数列{a_n}倒均数是Vn=

n+2

2

，求an；
（2）若等比数列{b_n}的公比q=2，其倒均数为V_n，问是否存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜

15

8b1

恒成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}倒均数是Vn=

n+2

2

，可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

n2+2n

2

，再写一式，两式相减可得数列的通项；
（2）求出等比数列{b_n}的倒均数为Vn=

2[1-( 1 2 )n]

b1n

，不等式nV_n＜

15

8b1

，即

2[1-( 1 2 )n]

b1

＜

15

8b1

，再分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）∵数列{a_n}倒均数是Vn=

n+2

2

∴

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

=

n+2

2

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

n2+2n

2

当n≥2时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

=

(n-1)2+2(n-1)

2

两式相减可得

1

an

=

2n+1

2

∴a_n=

2

2n+1

（n≥2）
∵n=1时，

1

a1

=

3

2

，∴a₁=

2

3

也满足上式
∴a_n=

2

2n+1

；
（2）∵等比数列{b_n}的公比q=2，∴{

1

bn

}是公比为

1

2

的等比数列，
∴等比数列{b_n}的倒均数为Vn=

2[1-( 1 2 )n]

b1n

不等式nV_n＜

15

8b1

，即

2[1-( 1 2 )n]

b1

＜

15

8b1

若b₁＜0，则不等式为2[1-(

1

2

)n]＞

15

8

，∴n＞4，因此此时存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜

15

8b1

恒成立，且m的最小值为4；
若b₁＞0，则不等式为2[1-(

1

2

)n]＜

15

8

，∴n＜4，因此此时不存在正整数m，使得当n≥m（n∈N^*）时，nV_n＜

15

8b1

恒成立．

点评：本题考查新定义，考查数列的通项，考查数列中存在性问题，考查分类讨论的数学思想，正确理解新定义是关键．