Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=

an

enan+e

，n∈N*（其中e为自然对数的底数）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n，求证：Sn≤

n

n+1

，Tn＞e-n2．

Answer 1

（1）∵an+1=

an

enan+e

，
∴

1

an+1

=

e

an

+en，
即

1

enan+1

=

1

en-1an

+1．         …（3分）
令bn=

1

en-1an

，则b_n+1=b_n+1，b1=

1

a1

=2，
因此，数列{b_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
b_n=2+（n-1）•1=n+1，…（5分）
∴an=

1

bnen-1

=

1

(n+1)en-1

．                     …（6分）
（2）（方法一）先证明当n∈N^*时，e^n-1≥n．
设f（x）=e^x-1-x，x∈[1，+∞），则f'（x）=e^x-1-1，
∵当x＞1时，f'（x）＞0
f（x）在（1，+∞）上是增函数，则当x≥1时，f（x）≥f（1）=0，即e^x-1≥x．…（8分）
因此，当n∈N^*时，e^n-1≥n，an=

1

(n+1)en-1

≤

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，…（9分）
当n∈N^*时，n+1＜eⁿ，an=

1

(n+1)en-1

＞

1

en•en-1

=e-(2n-1)． …（10分）
∴Sn=a1+a2+…+an≤(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
…（12分）
∴Tn=a1•a2•a3•…•an＞e-1•e-3•e-5•…•e-(2n+1)=e-[1+3+5+…+(2n-1)]=e-n2．
…（14分）
（方法二）数学归纳法证明
（1）∵S1=a1=

1

2

，

n

n+1

=

1

2

，
∴当n=1时，Sn≤

n

n+1

成立；
∵T1=a1=

1

2

，e-n2=

1

e

，
又∵e＞2，∴

1

2

＞

1

e

，
∴当n=1时，Tn＞e-n2成立．           …（8分）
（2）设n=k时命题成立，即Sk≤

k

k+1

，Tk＞e-k2，
当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1≤

k

k+1

+

1

(k+2)ek

，
要证Sk+1≤

k+1

k+2

，即证

k

k+1

+

1

(k+2)ek

≤

k+1

k+2

，
化简，即证e^k≥k+1．                                 …（9分）
设f（x）=e^x-x-1，x∈（0，+∞），则f'（x）=e^x-1，
∵当x＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，则当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即e^x≥x+1．
因此，不等式e^k≥k+1成立，即当n=k+1时Sn≤

n

n+1

成立． …（11分）
当n=k+1时，Tk+1=Tk•ak+1＞e-k2•

1

(k+2)ek

=

e-k2-k

k+2

，
要证Tk+1＞e-(k+1)2，即证

e-k2-k

k+2

＞e-(k+1)2，
化简，即证e^k+1＞k+2．
根据前面的证明，不等式e^k+1＞k+2成立，则n=k+1时Tn＞e-n2成立．
由数学归纳法可知，当n∈N^*时，不等式Sn≤

n

n+1

，Tn＞e-n2成立．…（14分）