Question

（1）是否存在实数a．使f（x）=loga(ax-

x

)在区间[2，4]上是增函数．若存在求出a
（2）已知函数f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定义域恰为区间（0，+∞），是否存在这样的a、b使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．若存在．求出a、b值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）用t=

x

换元后，先判断ax-

x

=at2-t在[1，2]上的单调性再依据复合函数的单调性求解参数的不等式．
（2）由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x为增函数，又由定义域，可求值域，再由f（x）恰在（1，+∞）上取正值可确定f（x）的值从而求a、b

解答：解：（1）存在＞1时f（x）=loga(ax-

x

)在区间[2，4]上是增函数证明如下：
令t=

x

则函数变为g（t）=log_a（at²-t），又原函数在[2，4]上是增函数，故g（t）=log_a（at²-t）在[

2

，2]上是增函数．
对于内层函数at²-t其对称轴为

1

2a

由复合函数的单调性判断规则知，
当a＞1时，内层函数at²-t也是增函数，故

1

2a

≤

2

，即得a≥

2

4

，又a×2-

2

＞0，a＞

2

2

，综合得，a＞1时函数为增函数．
当0＜a＜1时，内层函数at²-t也是减函数，故

1

2a

≥2，得a≤

1

4

，又a×4-2＞0，得a＞

1

2

此种情况下无解
综上，当a＞1时f（x）=loga(ax-

x

)在区间[2，4]上是增函数
（2）存在a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．证明如下：
已知函数f（x）=lg（a^x-kb^x）（k∈R⁺a＞1＞b＞0）的定义域恰为区间（0，+∞）
由k＞0a＞1＞b＞0可知g（x）=a^x-kb^x为增函数，
又定义域恰为区间（0，+∞）故可得1-k=0，k=1
欲使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值．且f（3）=lg4．
则只须a-b=1，a³-b³=4二者联立解得a=

5 +1

2

，b=

5 -1

2

点评：考查存在性问题的转化，第一小题中转化成了不等式求参数的范围，第二小题中转化成了方程求出参数的值，这是由二者在表述上的不同所造成的，请读者仔细体会这其中的奥妙．