Question

已知集合A={x|x²-2ax+4a²-3=0}，集合B={x|x²-x-2=0}，集合C={x|x²+2x-8=0}
（1）是否存在实数a，使A∩B=A∪B？若存在，试求a的值，若不存在，说明理由；
（2）若A∩B≠?，A∩C=∅，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用条件A∩B=A∪B，得A=B，然后根据集合相等确定a的值，
（2）根据A∩B≠?，A∩C=∅，即可求a的值．

解答：解：（1）若A∩B=A∪B，则A=B，
∵B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
∴A={-1，2}，
即-1和2是方程x²-2ax+4a²-3=0的两个根，
∴

-1+2=2a -1×2=4a2-3

，
∴a=

1

2

．满足△＞0，∴a存在．
（2）若A∩B≠?，A∩C=∅，则可知集合A中无-4，2．至少有一个元素-1．
当A={-1}时，

△=0 (-1)2-2a(-1)+4a2-3=0

∴a=-1
当A={-1，x}，x≠2时，

△＞0 (-1)2-2a(-1)+4a2-3=0

∴a无解．

点评：本题主要考查了集合的基本运算，以及集合关系的应用，考查学生的运算和推理能力．