Question

8．某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（　　）

• A． 5π
• B． $\frac{20}{3}π$
• C． 8π
• D． $\frac{28}{3}π$

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径．

解答 解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，由三视图可知定点A在底面的射影为CD的中点F，底面BCD为到腰直角三角形，BD⊥CD，
设外接球的球心O，E，M分别是△BCD，△ACD的外心，OE⊥平面BCD，OM⊥平面ACD，则E为BC中点，EC=$\sqrt{2}$，OE=FM=$\frac{AF}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．OC=R，
在△OEC中，由勾股定理得：${R^2}={（\sqrt{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）^2}$，解得R²=$\frac{7}{3}$，故${S_{球表}}=\frac{28π}{3}$
故选：D．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键．