Question

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A、B，连接AN、BN．求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

【答案】分析：（1）设圆的圆心为（a，2），则半径为a，根据|MN|=3，圆心C到弦MN的距离为2，得，求得r=a=，从而可以写出圆的标准方程．
（2）写出M，N的坐标，设出直线AB的方方程，和圆x²+y²=4联立，根据韦达定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互为相反数，故∠ANM=∠BNM．
解答：解：（Ⅰ）由已知可设C（a，2）（a＞0），圆C的半径r=a，（2分）
又∵|MN|=3
圆心C到弦MN的距离为2，故，所以a=r=，（4分）
所以，圆C的方程为； （6分）
（Ⅱ）令y=0，解得M（1，0），N（4，0），（7分）
若直线AB斜率不存在，显然∠ANM=∠BNM；                              （8分）
若直线AB斜率存在，设为y=kx-k，代入x²+y²=4得，
（k²+1）x²-2k²x²+k²-4=0，①（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根，
∴，（10分）
则=．（13分）
∴∠ANM=∠BNM．（14分）
点评：本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键．