Question

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧），且|MN|=3，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A、B，连接AN、BN．求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析：（1）设圆的圆心为（a，2），则半径为a，根据|MN|=3，圆心C到弦MN的距离为2，得r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，求得r=a=

5

2

，从而可以写出圆的标准方程．
（2）写出M，N的坐标，设出直线AB的方方程，和圆x²+y²=4联立，根据韦达定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互为相反数，故∠ANM=∠BNM．

解答：解：（Ⅰ）由已知可设C（a，2）（a＞0），圆C的半径r=a，（2分）
又∵|MN|=3　
圆心C到弦MN的距离为2，故r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，所以a=r=

5

2

，（4分）
所以，圆C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

；　　　　　　　　　　　　　　（6分）
（Ⅱ）令y=0，解得M（1，0），N（4，0），（7分）
若直线AB斜率不存在，显然∠ANM=∠BNM；                              （8分）
若直线AB斜率存在，设为y=kx-k，代入x²+y²=4得，
（k²+1）x²-2k²x+k²-4=0，①（9分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根，
∴x1+x2=

2k2

k2+1

，x1x2=

k2-4

k2+1

，（10分）
则kNB+kNA=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=k(

x1-1

x1-4

+

x2-1

x2-4

)=k(2+

3

x1-4

+

3

x2-4

)=k(2+

3(x1+x2)-24

x1x2-4(x1+x2)+16

)=k(2+

6k2-24k2-24

k2-4-8k2+16k2+16

)=0．（13分）
∴∠ANM=∠BNM．（14分）

点评：本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键．