Question

16．在等差数列{a_n}中，a₁=7，d=-$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，b_n=|a_n|，数列{b_n}前n项和为T_n．求
（1）S_n
（2）b_n
（3）T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的前n项和公式即可求S_n
（2）讨论a_n的符号即可求b_n
（3）讨论a_n的符号即可求T_n．

解答 解：（1）∵a₁=7，d=-$\frac{1}{2}$，
∴S_n=7n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$n²+$\frac{29}{4}$n．
（2）∵a_n=7-$\frac{1}{2}$（n-1）=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{15}{2}$，
∴当n≥15时，a_n≥0，
当1≤n≤14时，a_n＜0，
则b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n-\frac{15}{2}，}&{1≤n≤14}\\{-\frac{1}{2}n+\frac{15}{2}，}&{n≥15}\end{array}\right.$．
（3）若n≤14，则T_n=-a₁-a₂-a₃-…-a_n=-S_n=$\frac{1}{4}$n²-$\frac{29}{4}$n．
若n≥15，则T_n=-a₁-a₂-a₃-…-a₁₅+…+a_n=S_n-2S₁₅=-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{29}{4}$n-2（$-\frac{1}{4}$×15²+$\frac{29}{4}$×15）═-$\frac{1}{4}$n²+$\frac{29}{4}$n-105．

点评 本题主要考查数列通项公式和求和公式的应用，讨论数列项的符号是解决本题的关键．