Question

（2012•南宁模拟）已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令

1

bn

=an2-1(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的首项a₁及公差d，将a₃，a₅，a₇，用a₁及d来表示，列出方程组，可解出a₁及d，再由通项公式及前n项公式求出a_n及S_n；
（2）将a_n代入所给表达式可求出b_n的表达式，用裂项求和可求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
∴b_n=

1

a 2 n -1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
所以T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

即数列{b_n}的前项和Tn=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键．