Question

11．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的离心率为$\frac{m}{2}$，抛物线y²=mx的焦点为F，点p（2，y₀）（y₀＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 依题意，可求得双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的离心率e=2，于是知m=4，从而可求抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，继而可得点M的横坐标为$\frac{3}{2}$，从而得到答案

解答 解：∵双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的离心率e=$\sqrt{{1}^{2}+3}$=2=$\frac{m}{2}$，
∴m=4，
∴抛物线y²=mx=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1；
又点P（2，y₀）在此抛物线上，M为线段PF的中点，
∴点M的横坐标为：$\frac{1+2}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点M到该抛物线的准线的距离d=$\frac{3}{2}$-（-1）=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查双曲线的离心率，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．