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(2012•湖北模拟)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2
2
3-2
2

(1)求椭圆的方程;
(2)如果直线x=t(t∈R)与椭圆相交于A,B,若C(-3,0),D(3,0),证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上;
(3)过点Q(1,0)作直线l(与x轴不垂直)与椭圆交于M、N两点,与y轴交于点R,若
RM
MQ
RN
NQ
,证明:λ+μ为定值.
分析:(1)根据椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+2
2
3-2
2
,建立方程,结合b2=a2-c2,即可求得椭圆方程;
(2)设出A(t,y0),B(t,-y0),K(x,y),利用A在椭圆上有
t2
9
+y02=1
,求出CA,DB的方程,相乘,即可得到结论;
(3)设直线l的方程为y=k(x-1),与椭圆方程联立,利用韦达定理及
RM
MQ
RN
NQ
,求出λ,μ的值,即可得出结论.
解答:解:(1)由已知得
a+c=3+2
2
a-c=3-2
2
,解得
a=3
c=2
2

∴b2=a2-c2=1…(3分)
∴椭圆方程为
x2
9
+y2=1
.…(5分)
(2)依题意可设A(t,y0),B(t,-y0),K(x,y),且有
t2
9
+y02=1

CA:y=
y0
t+3
(x+3),DB:y=
-y0
t-3
(x-3)

y2=
-
y
2
0
t2-9
(x2-9)

t2
9
+y02=1
代入即得y2=
1
9
(x2-9),
x2
9
-y2=1

所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线
x2
9
-y2=1
上.…(10分)
(3)依题意,直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-1),…(11分)
设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),则M、N两点坐标满足方程组
y=k(x-1) 
x2
9
+y2=1 .

消去y并整理,得(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0,
所以x3+x4=
18k2
1+9k2
,①x3x4=
9k2-9
1+9k2
,②…(13分)
因为
RM
MQ
,所以(x3,y3)-(0,y5)=λ[(1,0)-(x3,y3)],
x3=λ(1-x3
y3-y5=-λy3 .
,所以x3=λ(1-x3),
又l与x轴不垂直,所以x3≠1,
所以λ=
x3
1-x3
,同理μ=
x4
1-x4
.        …(14分)
所以λ+μ=
x3
1-x3
+
x4
1-x4
=
(x3+x4)-2x3x4
1-(x3+x4)+x3x4

将①②代入上式可得λ+μ=-
9
4
.      …(16分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查方程与曲线的关系,考查直线与椭圆的位置关系,联立方程组,利用韦达定理是关键.
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