Question

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系Q=

39(2x2-29x+107)(5＜x＜7) 198-6x x-5 (7≤x＜8)

（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

Answer 1

分析：（1）依据题意，得总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式即可，它是一个分段函数的形式．（2）由（1）得：当5＜x＜7时，y=39（2x³-39x²+252x-535），接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出此函数的最大值即可．

解答：解：（1）据题意，得y=

39(2x2-29x+107)(x-5)  (5＜x＜7) 198-6x x-5 (x-5)                (7≤x＜8) [50-10(x-8)](x-5)          (x≥8)

（4分）
=

39•(2x3-39x2+252x-535)(5＜x＜7) 6(33-x)      (7≤x＜8) -10x2+180x-650  (x≥8)

（5分）

（2）由（1）得：当5＜x＜7时，y=39（2x³-39x²+252x-535）
y'=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7）
当5＜x＜6时，y'＞0，y=f（x）为增函数
当6＜x＜7时，y'＜0，y=f（x）为减函数
∴当x=6时，f（x）_极大值=f（16）=195（8分）
当7≤x＜8时，y=6（33-x）∈（150，156]
当x≥8时，y=-10（x-9）²+160
当x=9时，y_极大=160（10分）
综上知：当x=6时，总利润最大，最大值为：195（12分）

点评：本小题考查函数模型的选择与应用，属于中档题．本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．