Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）当t为何值时，数列{a_n}为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先由a_n+1=2S_n+1求出a_n+1=3a_n．再利用数列{a_n}为等比数列，可得a₂=3a₁．就可以求出t值．
（2）先利用T₃=15求出b₂=5，，再利用公差把b₁和b₃表示出来．代入a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求出公差即可求T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1  ①可得a_n=2s_n-1+1  （n≥2）②
 两式作差得 a_n+1-a_n=2a_n?a_n+1=3a_n．
因为数列{a_n}为等比数列?a₂=2s₁+1=2a₁+1=3a₁?a₁=t=1．
所以数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列 
∴a_n=3^n-1．
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，
由T₃=15?b₁+b₂+b₃=15?b₂=5，
所以可设b₁=5-d，b₃=5+d．
又a₁=1，a₂=3，a₃=9．
由题得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²．?d=-10，d=2．
因为等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且b₂=5，所以d=-10．
解得b₁=15，
所以T_n=15n+

n(n-1)

2

×(-10)=20n-5n²．

点评：本题综合考查等差数列和等比数列的知识．对于等差数列，要想前n项和有最大值，必须是递减数列，即公差为负数．