Question

如图，已知椭圆C₁与C₂的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C₁，C₂的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S₁和S₂．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S₁和S₂，直接由面积比=λ列式求λ的值；
（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．
解答：解：以题意可设椭圆C₁和C₂的方程分别为
，．其中a＞m＞n＞0，．
（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则
，
，
所以．
在C₁和C₂的方程中分别令x=0，可得y_A=m，y_B=n，y_D=-m，
于是．
若，则，化简得λ²-2λ-1=0，由λ＞1，解得．
故当直线l与y轴重合时，若S₁=λS₂，则．
（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂，根据对称性，
不妨设直线l：y=kx（k＞0），
点M（-a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d₁，d₂，则
，所以d₁=d₂．
又，所以，即|BD|=λ|AB|．
由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=（λ-1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．
将l的方程分别与C₁和C₂的方程联立，可求得

根据对称性可知x_C=-x_B，x_D=-x_A，于是
②
从而由①和②可得
③
令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．
因为k≠0，所以k²＞0．于是③关于k有解，当且仅当，
等价于，由λ＞1，解得，
即，由λ＞1，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂；
当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S₁=λS₂．
点评：本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法．