Question

4．直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=4相交于两点M、N，若满足C²=A²+B²，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）等于（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 设出点M，N坐标，进而表示出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，把直线方程与圆方程联立分别利用韦达定理求得x₁x₂和y₁y₂的表达式，代入$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$，根据C²=A²+B²，求得答案．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂，
由方程Ax+By+C=0与x²+y²=4联立消去y得：
（A²+B²）x²+2ACx+（C²-4B²）=0，
∴x₁x₂=$\frac{{C}^{2}-4{B}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$，
同理，消去x可得：y₁y₂=$\frac{{C}^{2}-4{A}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{C}^{2}-4{A}^{2}-4{B}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}$
又C²=A²+B²，得：x₁x₂+y₁y₂=-2，
即$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2．
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的基本运算．考查了学生基本运算能力，基础知识的熟练掌握．