Question

4．在单位正方体ABCD---A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是CC₁，BC，CD的中点，O为底面ABCD的中心． 
（1）求证：OM⊥平面A₁BD；
（2）平面MNP∥平面AB₁D₁；
（3）求B到平面AB₁D₁的距离．

Answer 1

分析 （1）连结A₁O，推导出OM⊥BD，OM⊥A₁O，由此能证明OM⊥平面A₁BD．
（2）由PN∥BD∥B₁D₁，MN∥C₁B∥D₁A，能证明平面MNP∥平面AB₁D₁．
（3）设点B到平面AB₁D₁的距离为d，由${V}_{B-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{{D}_{1}-AB{B}_{1}}$，能求出B到平面AB₁D₁的距离．

解答 证明：（1）连结A₁O，
∵BD⊥AO，BD⊥AA₁，∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∵OM?平面AA₁C₁C，∴OM⊥BD，
在Rt△A₁AO中，${A}_{1}{O}^{2}$=$A{{A}_{1}}^{2}+A{O}^{2}$=$\frac{6}{4}$，
在Rt△OCM中，OM²=$\frac{3}{4}$，
在Rt△A₁C₁M中，A₁M²=$\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$，
∵${A}_{1}{M}^{2}$=${A}_{1}{O}^{2}$+OM²，∴OM⊥A₁O，
又BD∩A₁O=O，
∴OM⊥平面A₁BD．
（2）∵PN∥BD∥B₁D₁，MN∥C₁B∥D₁A，
MN∩PN=N，B₁D₁∩D₁A=D₁，
∴平面MNP∥平面AB₁D₁．
解：（3）设点B到平面AB₁D₁的距离为d，
由${V}_{B-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{{D}_{1}-AB{B}_{1}}$，得$\frac{1}{6}=\frac{1}{3}（\frac{\sqrt{3}}{4}•（\sqrt{2}）^{2}）•d$，
解得d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴B到平面AB₁D₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、面面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．