【题目】已知椭圆的左右顶点分别为
,左焦点为
,已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与该椭圆
交于
两点,且线段
的中点恰为点
,且直线
的方程;
(3)若经过点的直线
与椭圆
交于
两点,记
与
的面积分别为
和
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据椭圆的离心率公式将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)利用点差法即可求出直线PQ的方程.(3)分类讨论,设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及基本不等式的性质,即可求得|S1-S2|的取值范围.
(1)因为e==
=
,则3a2=4b2,将(1,
)代入椭圆方程:
+
=1,解得:a=2,b=
,所以椭圆方程为
+
=1;
(2)设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2,
∵+
=1,
+
=1,两式相减可得
(xP+xQ)(xP﹣xQ)+
(yP+yQ)(yP﹣yQ)=0,∴
=﹣
,即直线PQ的斜率为﹣
,∴直线PQ的方程为y﹣1=﹣
(x﹣1),即3x+4y﹣7=0.
(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=1,此时C(1,﹣),D(1,
),△ABD,△ABC面积相等,|S1﹣S2|=0,
当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x﹣1),
设C(x1,y1),D(x2,y2),联立,消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0,
显然△>0,方程有根,且x1+x2=,x1x2=
,
此时|S1﹣S2|=2|y2|﹣|y1|=2|y2+y1|=,
因为k≠0,则|S1﹣S2|==
≤
=
,(k=±
时等号成立)
所以|S1﹣S2|的最大值为,则0≤|S1﹣S2|≤
,
∴|S1﹣S2|的取值范围[0,].
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【题目】如图,在五面体ABCDPN中,棱PA⊥面ABCD,AB=AP=2PN,底面ABCD是菱形,∠BAD= .
(1)求证:PN∥AB;
(2)求NC与平面BDN所成角的正弦值.
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【题目】设{an}是等比数列,则下列结论中正确的是( )
A. 若a1=1,a5=4,则a3=﹣2
B. 若a1+a3>0,则a2+a4>0
C. 若a2>a1,则a3>a2
D. 若a2>a1>0,则a1+a3>2a2
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【题目】如图,在三棱台ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,AC的中点,B1E⊥平面ABC,△AB1C是等边三角形,AB=2A1B1,AC=2BC,∠ACB=90°.
(1)证明:B1C∥平面A1DE;
(2)求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值.
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【题目】已知椭圆的左右两个焦点为
,离心率为
,过点
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线与椭圆C相交于
两点,椭圆的左顶点为
,连接
并延长交直线
于
两点 ,
分别为
的纵坐标,且满足
.求证:直线
过定点.
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