Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．

（1）证明：B1C∥平面A1DE；

（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（Ⅰ）先证明B1B∥平面A1DE，BC∥平面A1DE，再证平面B1BC∥平面A1DE，即证B1C∥平面A1DE. （Ⅱ）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法求求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．

（Ⅰ）证明：因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，

所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．

又BB1平面A1DE，A1D平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，

因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，

同理可证，BC∥平面A1DE．

因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，

又B1C平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．

（Ⅱ）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，

设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），=（0，0，），

则=（0，a，），=（a，2a，0）．

设平面ABB1的一个法向量=（x1，y1，z1），

则，即，取z1=1，得=（，，1）．

同理，设平面BB1C的一个法向量=（x，y，z），

又=（0，-a，），=（-a，0，0），

由，得，取z=﹣1，得=（0，，-1），

以==，

故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值为：．