Question

17．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的图象上两个相邻的最高点间的距离是π．
（1）求函数f（x）的表达式，并在平面直角坐标系中用“五点法”作出该函数的一个周期内的图象；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性求出ω，可得函数的解析式，再利用五点法作y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的图象上两个相邻的最高点间的距离是$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

作图：

（2）当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
即函数f（x）的值域为[1，2]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，用五点法作y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．