Question

9．已知a∈R，二次函数f（x）=ax²-2x-2a，设A={x|f（x）＞0}．
（1）当a=3时，求A；
（2）若集合B={x|1＜x＜3}，且A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法可得集合A；
（2）考虑判别式大于0，再讨论a＞0，f（1）≤0，且f（3）≤0，当a＜0时，f（1）≤0，且f（3）＜0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，A={x|f（x）＞0}={x|3x²-2x-6＞0}
={x|x＞$\frac{1+\sqrt{19}}{3}$或x＜$\frac{1-\sqrt{19}}{3}$}；
（2）二次函数f（x）=ax²-2x-2a的判别式为4+8a²＞0，
当a＞0时，由B={x|1＜x＜3}，且A∩B=∅，
则f（1）≤0，且f（3）≤0，
即为a-2-2a≤0，且9a-6-2a≤0，
解得0＜a≤$\frac{6}{7}$；
当a＜0时，由题意可得f（1）≤0，且f（3）＜0，
即为a-2-2a≤0，且9a-6-2a＜0，
解得-2≤a＜0．
综上可得a的取值范围是[-2，0）∪（0，$\frac{6}{7}$]．

点评 本题考查二次函数的性质和应用，考查二次不等式的解法和集合的运算，属于中档题和易错题．