Question

1．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均是非零向量，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|成立？，若存在，求θ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 假设存在这样的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|成立，可得$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，化简整理即可得出．

解答 解：假设存在这样的θ，使|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|成立，
∴$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
化为${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴cosθ=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ∈$[0，\frac{π}{3}]$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．