Question

11．设函数f（x）=ax²+8x+3（a＜0），对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，求l（a）的最大值．

Answer 1

分析 利用配方法通过函数的最小值的讨论，求出最大值的表达式，通过对数不等式，求出最大的正数l（a）．

解答 解：f（x）=a（x+$\frac{4}{a}$）²+3-$\frac{16}{a}$．
（1）当3-$\frac{16}{a}$＞5，即-8＜a＜0时，
l（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，故l（a）=$\frac{-8+\sqrt{64+8a}}{2a}$=$\frac{2}{\sqrt{16+2a+4}}$＜$\frac{2}{4}$．
（2）当3-$\frac{16}{a}$≤5，即a≤-8时，
l（a）是方程ax²+8x+3=-5的较大根，故l（a）=$\frac{-8+\sqrt{64-32a}}{2a}$=$\frac{4}{\sqrt{4-2a-2}}$≤$\frac{4}{\sqrt{20}-2}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
所以a=-8时，l（a）取得最大值$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考利用类讨论思想，求解二次函数的最大值，考查函数与方程的思想，分类讨论思想的应用，难度较大．