Question

14．二次函数f（x）=ax²+bx+c的系数a，b，c互不相等，若a，b，c成等差数列，b+1，a+1，c+1成等比数列．
（1）求a，b之间的关系式；
（2）若f（x）+6≥0在R上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列和等比数列的性质，消去c，即可得到a，b的关系式；
（2）将a，c用b表示，再由二次不等式恒成立思想，可得b的不等式，注意讨论二次项系数，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由于a，b，c成等差数列，b+1，a+1，c+1成等比数列，
则2b=a+c，（a+1）²=（b+1）（c+1），
将c=2b-a代入第二个式子，化简可得
（a+2b+3）（a-b）=0，（a≠b），
即有a+2b+3=0；
（2）由（1）可得a=-3-2b，c=2b-a=4b+3，
f（x）+6≥0在R上恒成立，即为
（-3-2b）x²+bx+4b+9≥0恒成立，
由于-3-2b=0，即b=-$\frac{3}{2}$时，不等式不恒成立；
即有$\left\{\begin{array}{l}{-3-2b＞0}\\{{b}^{2}+4（3+2b）（4b+9）≤0}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{b＜-\frac{3}{2}}\\{-2≤b≤-\frac{18}{11}}\end{array}\right.$，
则有-2≤b≤-$\frac{18}{11}$．
则实数b的取值范围是[-2，-$\frac{18}{11}$]．

点评 本题考查二次函数的解析式和恒成立问题，同时考查等差数列和等比数列的性质，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．