Question

18．已知函数f（x）满足下列关系式：（i）对于任意的x，y∈R，恒有2f（x）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-x+y）-f（$\frac{π}{2}$-x-y）；（ii）f（$\frac{π}{2}$）=1．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）为奇函数；
（3）f（x）是以2π为周期的周期函数．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，即可得到f（0）=0；
（2）令x=$\frac{π}{2}$，结合函数奇偶性的定义即可判断f（x）为奇函数；
（3）利用赋值法结合函数的周期性即可证明f（x）是以2π为周期的周期函数．

解答 解：（1）∵2f（x）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-x+y）-f（$\frac{π}{2}$-x-y），
∴令x=y=0，代人2f（0）f（0）=f（$\frac{π}{2}$）-f（$\frac{π}{2}$）=0，
即得f（0）=0．
（2）对于任意的x，y∈R，
令x=$\frac{π}{2}$，带入2f（x）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-x+y）-f（$\frac{π}{2}$-x-y），
得2f（$\frac{π}{2}$）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$+y）-f（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$-y），
即2f（$\frac{π}{2}$）f（y）=f（y）-f（-y），
∵f（$\frac{π}{2}$）=1，
∴2f（y）=f（y）-f（-y），
即 f（y）=-f（-y），
则f（-y）=-f（y），
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
（3）令x=0，y=$\frac{π}{2}$，
由2f（x）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-x+y）-f（$\frac{π}{2}$-x-y），
得2f（0）f（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）-f（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$），
即2f（0）f（$\frac{π}{2}$）=f（π）-f（0），
即f（π）=0，
令x=π，y=a+$\frac{3π}{2}$ 代回2f（x）f（y）=f（$\frac{π}{2}$-x+y）-f（$\frac{π}{2}$-x-y），
得2f（π）f（a+$\frac{3π}{2}$）=f（$\frac{π}{2}$-π+a+$\frac{3π}{2}$）-f（$\frac{π}{2}$-π-a-$\frac{3π}{2}$），
即0=f（π+a）-f（-a），
即f（π+a）=f（-a），
则f（a+2π）=-f（π+a）=f（a），
即f（x+2π）=f（x），
则函数的周期T=2π．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．结合函数奇偶性和周期性的定义，进行转化，考查学生的转化能力．