Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，实轴长为2；
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求实数m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意得2a=2，e=

3

，由此能求出双曲线方程．
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB的中点M（x₀，y₀），由

2x2-y2=2 x-y+m=0

，得x²-2mx-m²-2=0，由此能求出实数m的值．

解答： 解：（1）依题意得2a=2，a=1，…（1分）
e=

3

，∴c=

3

，…（2分）
∴b²=c²-a²=2，…（4分）
∴双曲线方程为：x2-

y2

2

=1…（5分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB的中点M（x₀，y₀），…（6分）
由

2x2-y2=2 x-y+m=0

得x²-2mx-m²-2=0…（8分）
x0=

x1+x2

2

=m，y0=x0+m=2m，…（10分）
∵点M在圆上，∴x02+y02=5，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．…（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．