Question

设x＞0，y＞0，x²+y²=1，则x+y的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由x＞0，y＞0，x²+y²=1，令x=cosα，y=sinα，α∈(0，

1

2

π)，利用辅助角公式可得，x+y=cosα+sinα=

2

sin(α+

π

4

)由0＜α＜

1

2

π 可得

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

，结合三角函数的性质可求

解答：解：由x＞0，y＞0，x²+y²=1，令x=cosα，y=sinα，α∈(0，

1

2

π)
∴x+y=cosα+sinα=

2

sin(α+

π

4

)
∵0＜α＜

1

2

π∴

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜ sin(α+ 

π

4

 )≤1
∴1＜x+y≤

2

故答案为：

2

点评：本题主要考查了利用三角函数的换元求解函数的值域，解题的关键是利用辅助角公式结合三角函数的性质进行求解，属于知识的简单综合．