Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+a_n=-n（n∈N^*）恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=ln（a_n+1），求{a_nb_n}的前n项和；
（3）求证：．

Answer 1

（1）解：∵S_n+a_n=-n①
∴n≥2时，S_n-1+a_n-1=-n+1②
①-②可得2a_n=a_n-1-1
∴2（a_n+1）=a_n-1+1
又a₁=-，∴{a_n+1}是以为首项，为公比的等比数列
∴a_n+1=，∴a_n=-1；
（2）解：b_n=ln（a_n+1）=nln，∴a_nb_n=[-1]•nln，
∴{a_nb_n}的前n项和为ln[+2•+…+n•]-•ln
令T_n=ln[+2•+…+n•]，则T_n=ln[+2•+…+（n-1）•+n•]，
两式相减，可得T_n=ln（2--）
∴{a_nb_n}的前n项和为ln（2--）-•ln；
（3）证明：由（1）知，=-2（-）
∴=-2（++…+-）
=-2（）＜2
∴．
分析：（1）再写一式，两式相减，可得{a_n+1}是以为首项，为公比的等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求和；
（3）确定通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确运用数列的求和方法是关键．