Question

设定义在R上的函数f(x)=

1(x=0) lg|x|(x≠0)

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x12+x22+x32=

 

．

Answer 1

分析：设t=f（x），作出函数f（x）的图象，根据关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，得到t的取值情况即可求出结论．

解答：解：设t=f（x），则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
作出f（x）的图象如图：
由图象可知当t=1时，方程f（x）=1有三个根，当t≠1时方程f（x）=t有两个不同的实根，
∴若若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，
则等价为t²+bt+c=0只有一个根t=1，
由f（x）=1得，x=0，或者lg|x|=1，
即得x=±10，
即三个根x₁，x₂，x₃，分别为0.10或-10，
∴x12+x22+x32=0+100+100=200．
故答案为：200

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用换元法将方程转化为二次方程，根据二次方程根的分布是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．