Question

18．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，$AD=\frac{1}{2}BC=2$，∠ABC=60°，M是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC₁D₁（如图）
（1）求证：BC₁⊥AC；
（2）求二面角D₁-AM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在等腰梯形ABCD中，推导出AC⊥AB，AC₁⊥AB，AC⊥AC₁，从而AC⊥平面ABC₁，由此能证明BC₁⊥AC．
（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D₁-AM-C的余弦值．．

解答 证明：（1）在等腰梯形ABCD中，
∵∠ABC=60°，∴AC⊥AB，同理AC₁⊥AB，
而据题意可知：二面角C-AB-C₁为90°，
则平面角为∠CAC₁=90°，即AC⊥AC₁
又∵AB∩AC₁=A，∴AC⊥平面ABC₁，
∴BC₁⊥AC；…（6分）
解：（2）以A为坐标原点，分别以AB、AC、AC₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），M（1，$\sqrt{3}$，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），${D_1}（{-1，0，\sqrt{3}}）$，
∴$\overrightarrow{AM}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{A{D_1}}=（{-1，0，\sqrt{3}}）$，
设$\vec n=（{x，y，z}）⊥平面AM{D_1}$，
得$\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}y=0\\-x+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，则$\vec n=（{\sqrt{3}，-1，1}）$，
又有$\vec m=（{0，0，1}）⊥平面AMC$，
∴$cos＜\vec m，\vec n＞=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故所求二面角余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．