Question

11．如图，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC，点E，F分别是BC，A₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁B₁BA；
（2）求证：平面AEA₁⊥平面BCB₁．

Answer 1

分析 （1）连接A₁B，证明EF∥BA₁，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面A₁B₁BA．
（2）证明AE⊥BC，BB₁⊥AE，推出AE⊥平面BCB₁，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AEA₁⊥平面BCB₁．

解答 证明：（1）如图，连接A₁B，在△A₁BC中，因为E和F分别是BC，A₁C的中点，
所以EF∥BA₁，…（4分）
又因为EF?平面A₁B₁BA，所以EF∥平面A₁B₁BA．…（6分）
（2）因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，
因为AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，
所以BB₁⊥平面ABC，从而BB₁⊥AE，
又BC∩BB₁=B，所以AE⊥平面BCB₁，…（10分）
又因为AE?平面AEA₁，所以平面AEA₁⊥平面BCB₁．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．