Question

2．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a$\frac{1}{1-x}$，记F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的定义域及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可得F（x）的解析式，列出不等式组可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；
（2）化简方程，设1-x=t∈（0，1]，构造函数y=t+$\frac{4}{t}$，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．

解答 解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$（a＞0且a≠1）
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，可解得-1＜x＜1，
所以函数F（x）的定义域为（-1，1）
令F（x）=0，则2log_a（x+1）+log_a$\frac{1}{1-x}$=0…（*）  
方程变为log_a（x+1）2=log_a（1-x），即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，经检验x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0
即函数F（x）的零点为0．
（2）方程可化为m=2log_a（x+1）+loga
$\frac{1}{1-x}$=log_a$\frac{{x}^{2}+2x+1}{1-x}$=log_a（1-x+$\frac{4}{1-x}$-4），
故a^m=1-x+$\frac{4}{1-x}$-4，设1-x=t∈（0，1]
函数y=t+$\frac{4}{t}$在区间（0，1]上是减函数
当t=1时，此时x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，
当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0．

点评 本题考查函数的零点与方程的跟的关系，考查转化思想，构造法的应用，是属中档题．