Question

10．若直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1通过点M（cosα，sinα），则（　　）

• A． a²+b²≤1
• B． a²+b²≥1
• C． $\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≤1
• D． $\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥1

Answer 1

分析 由题意可得（bcosα+asinα）²=a²b²，再利用 （bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α），化简可得答案．

解答 解：若直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1通过点M（cosα，sinα），则$\frac{cosα}{a}$+$\frac{sinα}{b}$，
∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）²=a²b²．
∵（bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α）=（a²+b²），
∴a²b²≤（a²+b²），∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$≥1，
故选D．

点评 本题考查恒过定点的直线，不等式性质的应用，利用 （bcosα+asinα）²≤（a²+b²）•（cos²α+sin²α），是解题的难点．