Question

15．已知函数f（x）=|x+1|+2|x-1|-a．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）＞x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+2）的解集为非空集合，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）能成立．设g（x）=|x+1|+2|x-1|，由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．求得PA、BC的斜率，数形结合求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|-1，
不等式f（x）＞x+2，即|x+1|+2|x-1|＞x+3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-3x＞x+3}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜1}\\{3-x＞x+3}\end{array}\right.$②或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x-1＞x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x＞2，
综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞2}．
（Ⅱ）由题意可得f（x）≤a（x+2）有解，化简f（x）≤a（x+2）可得|x+1|+2|x-1|≤a（x+3）．
设g（x）=|x+1|+2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x＜1}\\{3x-1，x≥1}\end{array}\right.$，
由于直线y=a（x+3）经过定点P（-3，0），如图：

由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y=a（x+3）的下方．
由于PA的斜率K_PA=$\frac{2-0}{1+3}$=$\frac{1}{2}$，直线BC的斜率 K_BC=-3，
故a的范围为（-∞，-3）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．