Question

有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片．
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，求ξ的概率分布及数学期望Eξ．

Answer 1

解：（I）记“取出的3张卡片都标有数字0”为事件A．
；
（Ⅱ）记“取出的3张卡片数字之积是4”为事件B．
；

（Ⅲ）ξ的可能取值为0，2，4，8
，
；
；
ξ的概率分布列为：

．
分析：（1）本题为古典概型，总的取法有C₆¹C₇²种，3张卡片都标有数字0的取法有C₄²种，相除即可．
（2）取出的3张卡片数字之积是4的结果有：
红盒中取2、黑盒中取2和1，红盒中取1、黑盒中取2和2，取法共有C₂¹C₂²+C₃¹C₁¹C₂¹种，再利用古典概型求解即可．
（3）ξ的可能取值为0，2，4，8，可先求ξ为2，4，8使得概率，ξ=0的概率用分布列的性质求解．
点评：本题考查古典概型、李酸性随机变量的分布列和期望等知识，同时考查抽象概括能力和运用所学知识分析问题解决问题的能力．